这一个页面用来介绍有关定积分的计算，包括著名的微积分基本定理，以及不定积分推广过来的积分计算方法，还有定积分计算的独特性质。
目录
1 微积分基本定理
2 不定积分方法的推广
2.1 换元积分法
2.2 分部积分法
3 定积分的独特计算方法
3.1 特殊函数的性质
3.1.1 对称性
3.1.2 周期性
3.2 三角分离
4 用积分求极限
5 上下节
6 参考资料
微积分基本定理[]
微积分基本定理也叫牛顿-莱布尼兹定理，由于其在积分计算中的地位巨大，将定积分和原函数问题（不定积分）联系起来，且只用两个值就能计算出一段区间的定积分，古城做微积分学中的基本定理。它是说，连续于区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
，设
F
(
x
)
{\displaystyle F(x)}
是它的任意一个原函数，即有
F
′
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle F'(x) = f(x)}
，则
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
F
(
x
)
|
a
b
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
{\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = F(x)\Bigg|_a^b = F(b) - F(a)}
不定积分方法的推广[]
对不定积分奏效的换元积分和分部积分，通过证明可以引入到定积分的计算中去。
换元积分法[]
定积分同样适用凑微分法以及第二换元法，仅需注意换元时注意换掉积分限即可。以下写出第二换元的公式：
设
f
(
x
)
,
x
=
φ
(
t
)
,
φ
′
(
t
)
{\displaystyle f(x), x = \varphi(t), \varphi'(t)}
均连续，
x
=
φ
(
t
)
{\displaystyle x = \varphi(t)}
具有严格单调性（保证了存在反函数），且
φ
(
α
)
=
a
,
φ
(
β
)
=
b
{\displaystyle \varphi(\alpha) = a, \varphi(\beta) = b}
则有
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
∫
α
β
f
(
φ
(
t
)
)
φ
′
(
t
)
d
t
.
{\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t)) \varphi'(t) \mathrm{d}t.}
不定积分中的换元方法，例如根式代换、倒代换和三角代换等，可以直接运用到定积分的计算中。
分部积分法[]
不定积分中的分部积分，只需增加上下限即可引入到定积分计算中来：
∫
a
b
v
(
x
)
d
u
(
x
)
=
u
(
x
)
v
(
x
)
|
a
b
−
∫
a
b
u
(
x
)
d
v
(
x
)
{\displaystyle \int_a^b v(x) \mathrm{d}u(x) = u(x) v(x) \Bigg|_a^b - \int_a^b u(x) \mathrm{d}v(x)}
运用分部积分可以直接计算出的一个很重要的积分是
I
n
=
∫
0
π
2
sin
n
x
d
x
=
∫
0
π
2
cos
n
x
d
x
{\displaystyle I_n = \int_0^\frac{\pi}{2} \sin^n x \mathrm{d}x = \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^n x \mathrm{d}x}
当
n
{\displaystyle n}
是奇数时，
I
n
=
(
n
−
1
)
!
!
n
!
!
{\displaystyle I_n = \dfrac{(n-1)!!}{n!!}}
；当
n
{\displaystyle n}
是偶数时，
I
n
=
(
n
−
1
)
!
!
n
!
!
π
2
{\displaystyle I_n = \dfrac{(n-1)!!}{n!!} \dfrac{\pi}{2}}
从这个积分中我们可以导出 Wallis 公式：
lim
n
→
∞
1
2
n
+
1
(
(
2
n
)
!
!
(
2
n
−
1
)
!
!
)
2
=
π
2
{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{2n+1}\left(\dfrac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2 = \dfrac{\pi}{2}}
定积分的独特计算方法[]
有的形式的定积分，用某些计算技巧可以很容易地计算出结果，例如利用对称性、周期性等。
特殊函数的性质[]
对称性[]
如果连续于区间
[
−
a
,
a
]
{\displaystyle [-a, a]}
上的函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是偶函数，那么
∫
−
a
a
f
(
x
)
d
x
=
2
∫
0
a
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \mathrm{d}x = 2 \int_0^a f(x) \mathrm{d}x}
如果它是奇函数，那么
∫
−
a
a
f
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \mathrm{d}x = 0}
尤其是奇函数的情形，它能帮助我们简化计算某些甚至是初等方法计算不出来的定积分。这些性质几何意义也很直观。
作为函数线对称以及中心对称的推广，有如下更一般的规律：
在区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的可积函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
，对任意的
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x \in [a, b]}
，如果有
f
(
x
)
=
f
(
a
+
b
−
x
)
{\displaystyle f(x) = f(a+b-x)}
，那么
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
2
∫
a
+
b
2
b
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = 2 \int_\frac{a+b}{2}^b f(x) \mathrm{d}x}
如果有
f
(
x
)
=
−
f
(
a
+
b
−
x
)
{\displaystyle f(x) = - f(a+b-x)}
，那么
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
0.
{\displaystyle \int_a^b f(x) \mathrm{d}x = 0.}
周期性[]
像对称性一样，周期性有时也可以帮助我们简化定积分的计算，或者证明一些命题。它是说
若函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
是周期为
T
{\displaystyle T}
的周期连续函数则有
∫
a
a
+
T
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
T
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int_a^{a+T} f(x) \mathrm{d}x = \int_0^T f(x) \mathrm{d}x}
这也就是说，在一个周期上的积分值不管如何平移积分区间，它都是不变的。
三角分离[]
若函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在闭区间
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
上连续，则有
∫
0
π
2
f
(
sin
x
)
d
x
=
∫
0
π
2
f
(
cos
x
)
d
x
{\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} f(\sin x) \mathrm{d}x = \int_0^\frac{\pi}{2} f(\cos x) \mathrm{d}x}
进一步得出
∫
0
π
x
f
(
sin
x
)
d
x
=
π
2
∫
0
π
f
(
sin
x
)
d
x
{\displaystyle \int_0^\pi x f(\sin x) \mathrm{d}x = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(\sin x) \mathrm{d}x}
它可以在不求原函数的情况下将难以计算的积分项消去，这个性质的最直接应用是计算定积分
∫
0
π
x
sin
x
1
+
cos
2
x
d
x
{\displaystyle \int_0^\pi \dfrac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} \mathrm{d}x}
用积分求极限[]
定积分的定义是黎曼和的极限，有时候也会用它来求一些极限，这一方法的典型例子是用等份分割区间
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
来求极限。
例如求极限
lim
n
→
∞
(
1
n
+
1
+
1
n
+
2
+
⋯
+
1
2
n
)
{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \cdots + \dfrac{1}{2n} \right)}
解法：原式
=
lim
n
→
∞
1
n
∑
k
=
1
n
1
1
+
k
n
{\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1+\frac{k}{n}}}
做辅助函数
f
(
x
)
=
1
1
+
x
{\displaystyle f(x) = \dfrac{1}{1+x}}
，对区间
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
等份分割为
n
{\displaystyle n}
份，则有
lim
n
→
∞
1
n
∑
k
=
1
n
1
1
+
k
n
=
lim
n
→
∞
∑
k
=
1
n
1
n
f
(
k
n
)
=
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
=
ln
(
1
+
x
)
|
0
1
=
ln
2.
{\displaystyle \begin{align}
\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{1+\frac{k}{n}}
& = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} f\left(\dfrac{k}{n}\right) \\
& = \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = \ln(1+x)\Bigg|_0^1 = \ln 2.
\end{align}}
上下节[]
上一节：积分第一中值定理
下一节：定积分的应用
参考资料欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
积分学（学科代码：1103420，GB/T 13745—2009）
不定积分
不定积分 ▪ 常见函数的不定积分 ▪ 不定积分的换元积分法 ▪ 有理分式积分法 ▪ 分部积分法 ▪ 配对积分法
黎曼积分
定积分 ▪ 微积分基本定理 ▪ 积分第一中值定理 ▪ 定积分的计算 ▪ 定积分的应用 ▪ 积分第二中值定理
反常积分
无穷限积分和瑕积分 ▪ Cauchy 判别法、Dirichlet 判别法以及 Abel 判别法 ▪ Cauchy 主值
含参积分
含参变量的积分 ▪ 含参变量的反常积分 ▪ Euler 积分（Γ 函数和 B 函数）、Poisson 积分 ▪ Dirichlet 积分 ▪ Frullani 积分、Laplace 积分 ▪ Fresnel 积分 ▪ Lobatchevski 积分 ▪ Fejer 积分
多元积分
积分区域的描述 ▪ 重积分（二重积分、三重积分） ▪ 反常重积分 ▪ 第一型曲线积分 ▪ 第二型曲线积分 ▪ 第一型曲面积分 ▪ 第二型曲面积分 ▪ Green 公式、Gauss 公式以及 Stokes 公式
所在位置：数学（110）→ 数学分析（11034）→ 积分学（1103420）