Frobenius 标准形又称有理标准形，它是矩阵相似的一个相似标准型，与矩阵的不变因子直接联系。
目录
1 友阵
2 Frobenius 标准形
3 例子
4 上下节
5 参考资料
友阵[]
设
P
{\displaystyle \mathbb{P}}
上的一个多项式
f
(
x
)
=
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0}
则下列矩阵
F
=
(
0
0
⋯
0
−
a
0
1
0
⋯
0
−
a
1
0
1
⋯
0
−
a
2
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
0
0
⋯
1
−
a
n
−
1
)
{\displaystyle F = \begin{pmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \\
\end{pmatrix}}
的特征多项式也就是
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
，我们将
F
{\displaystyle F}
称为多项式
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的友阵。
任何首一的多项式都是其友阵的特征多项式。
Frobenius 标准形[]
设
A
{\displaystyle A}
的不变因子为
1
,
1
,
⋯
,
d
k
+
1
(
λ
)
,
d
k
+
2
(
λ
)
,
⋯
,
d
n
(
λ
)
{\displaystyle 1, 1, \cdots, d_{k+1} (\lambda), d_{k+2} (\lambda), \cdots, d_n (\lambda)}
那么它总相似于如下形式的分块矩阵
F
=
(
F
k
+
1
F
k
+
2
⋱
F
n
)
{\displaystyle F = \begin{pmatrix}
F_{k+1} \\
& F_{k+2} \\
&& \ddots \\
&&& F_{n}
\end{pmatrix}}
其中
F
i
{\displaystyle F_i}
是对应于
d
i
(
λ
)
{\displaystyle d_i (\lambda)}
的友阵，
i
=
k
+
1
,
k
+
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle i = k+1, k+2, \cdots, n}
，每个
F
i
{\displaystyle F_i}
也称为是对应于
d
i
(
λ
)
{\displaystyle d_i (\lambda)}
的 Frobenius 块，
F
{\displaystyle F}
称为
A
{\displaystyle A}
的 Frobenius 标准形。
例子[]
例如，六阶方阵
A
{\displaystyle A}
的不变因子分别是
1
,
1
,
1
,
λ
−
1
,
λ
2
−
1
,
λ
3
+
λ
2
−
λ
−
1
{\displaystyle 1, 1, 1, \lambda-1, \lambda^2-1, \lambda^3 + \lambda^2 - \lambda - 1}
则它的 Frobenius 标准形是
F
=
(
F
4
F
5
⋱
F
6
)
=
(
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
−
1
)
{\displaystyle F = \begin{pmatrix}
F_4 \\
& F_5 \\
&& \ddots \\
&&& F_6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
\end{pmatrix}}
上下节[]
上一节：数字矩阵的特征矩阵
下一节：Jacobson 标准形参考资料郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.
线性代数（学科代码：1102110，GB/T 13745—2009）
矩阵
矩阵的转置 ▪ 矩阵的逆 ▪ 对角矩阵 ▪ 初等矩阵 ▪ 等价标准型 ▪ 分块矩阵 ▪ 伴随矩阵 ▪ 酉矩阵（正交矩阵） ▪ Hermite 矩阵（实对称矩阵） ▪ 正规矩阵（实正规矩阵） ▪ 幂等矩阵 ▪ 幂零矩阵 ▪ 对合矩阵 ▪ 秩一矩阵 >>另参见数值分析<<
行列式
Vandermonde 行列式 ▪ 行列式的展开 ▪ Laplace 展开 ▪ 三角行列式 ▪ 三对角行列式 ▪ 行列式的计算 ▪ 析因子法
向量组理论
向量组 ▪ 替换定理 ▪ 矩阵的秩 ▪ 矩阵的迹
线性方程组
Cramer 法则 ▪ 基础解系（解的结构）>>另参见数值分析<<
线性空间和内积空间
线性空间的维数和基底 ▪ 线性空间的坐标变换 ▪ 线性空间的同构 ▪ 线性子空间 ▪ 线性空间的直和 ▪ 维数公式 ▪ 线性空间上的线性函数 ▪ 双线性函数 ▪ 对称双线性度量空间 ▪ 正交补空间 ▪ 内积 ▪ Euclid 空间 ▪ 向量到子空间的距离 ▪ 最小二乘法 ▪ Gram-Schmidt 正交化
线性变换
线性映射 ▪ 线性变换 ▪ 线性变换的运算 ▪ 自同构变换 ▪ 线性变换的特征值和特征向量 ▪ 特征子空间 ▪ 特征多项式 ▪ 零化多项式 ▪ 最小多项式 ▪ 关联矩阵的特征根 ▪ 线性空间的直和分解 ▪ 幂等线性变换 ▪ 正交变换 ▪ 正定矩阵 ▪ 半正定矩阵
矩阵标准型
相似标准型 ▪ λ-矩阵 ▪ 数字矩阵的特征矩阵 ▪ Frobenius 标准形 ▪ Jacobson 标准形 ▪ Jordan 标准形
二次型理论
二次型（实二次型） ▪ 二次型的化简 ▪ 正定二次型 ▪ 一对实二次型同时化简
所在位置：数学（110）→ 代数学（11021）→ 线性代数（1102110）